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两角和与差的正弦在三角形ABC中,内角A,B,C的度数成等差数列
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：在三角形AB中,内角A,B,C的度数成等差数列,且1/cosA+1/cosC=-根号２/cosＢ,求cos(A-C)/2.
答案是√2/2
解：显然B=60°,A+=120°.
所以1/cosA+1/cosC=-√2/cosB=-√2/cosB=-2√2,
即cosA+cosC=-2√2·cosAcosC.
利用和差化积和积化和差公式,上式化为
2cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=-√2·[cos(A+C)+cos(A-C)].
又cos[(A+C)/2]=cos60°=1/2,cos(A+C)=cos120°=-1/2,
所以
`cos[(A-C)/2]=√2/2-√2·cos(A-C)
=√2/2-√2·{2cos²[(A-C)/2]-1}.
整理,得4√2·cos²[(A-C)/2]+2cos[(A-C)/2]-3√2=0,
所以{2cos[(A-C)/2]-√2}{2√2·cos[(A-C)/2]+3}=0.
因为2√2·cos[(A-C)/2]+3≠0,所以2cos[(A-C)/2]-√2=0.
所以cos[(A-C)/2]=√2/2.
还可以用等差代换来计算.
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