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一道几何题(明早7点半之前回答我谢谢)操作:将一把三角尺放在边长
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：操作:将一把三角尺放在边长为1的正方形AB上,并使他的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点O
探究:设A,P两点间的距离为x
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值,如果不可能说明理由
（1）PQ=PB
过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，
易证 Rt△PEB≌Rt△PFQ，
∴PQ=PB
（2）延长EP交AD于G，则PG=√2x/2，PE=1-√2x/2，
∴四边形PBCQ的面积=四边形PECF的面积=（1-√2x/2）^2,
即y=x^2/2-√2x+1----[0＜x＜√2/2]
【P过对角线中点Q在DC延长线上】
（3）显然Q在CD上时△PCQ不可能为等腰三角形
（∠CPQ不可能为45度！），
当Q在DC延长线上时，∠PCQ=135°，
当∠CPQ=∠CQP=22.5°时△PCQ为等腰三角形，
这时∠APB=67.5°，△APB为等腰三角形，
即x=AP=1，
CQ=CP=√2-1时△PCQ为等腰三角形。
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