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判断通解与特解y1,y2,y3是方程y''+p(x)y'+q(x

发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：2次分类：教育/科学-升学入学-考研

问题描述：y1,y2,y3是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，c1,c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2+(1-c1-c1)y3是方程的（） A.通解 B.不是通解 .特解 D.也许是通解，但一定不是特解

这里选项【A】是正确的，选项【D】是错的，就所以很容易解释了。 ①用【反证法】证明 y1-y3和y2-y3线性无关【若】y1-y3和y2-y3线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，使 k1*(y1-y3)+k2*(y2-y3)=0，即k1*y1+k2*y2+(-k1-k2)*y3=0，其中k1，k2，-k1-k2不全为零，则y1,y2,y3线性相关，不符合题意。 ②由于y1-y3和y2-y3是齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的特解，且y1-y3和y2-y3线性无关，所以对于任意常数C1,C2来说 Y=C1*(y1-y3)+C2*(y2-y3)是齐次线性方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解。 ③所以原非齐次方程的通解为y=Y+y3=C1*(y1-y3)+C2*(y2-y3)+y3 =C1*y1+C2*y2+(1-C1-C2)*y3。即正确选项为【A】