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如图，已知直线PA交圆心O于A、B两点，AE是圆心O的直径,点C?
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：如图，已知直线PA交圆心O于A、B两点，是圆心O的直径,点C为圆心O上一点,切AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为D（1）求证：CD为圆心O的切线；（2）若DC+DA=6，圆心O的直径为10，求AB的长度。
如图
（1）连接OC．
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO．
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°．
又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF^2+OF^2=OA^2．
即（5-x）^2+（6-x）^2=25，
化简得x^2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x＞0，故x=9舍去，
∴x=2，
∴AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6
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