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复数已知|z|=2,w=2z+i，M=|w+1|^2+|w
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：已知|z|=2,w=2z+i，M=|w+1|^2+|w-1|^2
求M的最大值与最小值，以及M取到最大值或最小值时w的值。
答案为：最大值52，此时w=5i
最小值20，此时w=-3i
要有解题过程
设z=a+bi（a、b∈R）
已知|z|=√(a^2+b^2)=2
所以，a^2+b^2=4………………………………（1）
w=2z+i=2a+2bi+i=2a+(2b+1)i…………………………（2）
所以，w+1=(2a+1)+(2b+1)i，w-1=(2a-1)+(2b+1)i
所以：M=|w+1|^2+|w-1|^2
=(2a+1)^2+(2b+1)^2+(2a-1)^2+(2b+1)^2
=4a^2+4a+1+4b^2+4b+1+4a^2-4a+1+4b^2+4b+1
=8a^2+8b^2+8b+4
=8(a^2+b^2)+8b+4
=8*4+8b+4
=36+8b
由(1)知，b∈[-2,2]
所以：
①当b=2时，M有最大值=36+16=52
此时，a=0，b=2
则由(2)知，w=5i；
②当b=-2时，M有最小值=36-8*2=20
此时，a=0，b=-2
则由(2)知，w=-3i.
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