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张禾瑞版高等代数书习题，9.1第一题证明，一个非奇异的对称矩阵必
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵
A为一个非奇异的对称矩阵,则有正交矩阵P使:
A=PBP^t,
其中B=diag(λ1,λ2,..,λn),λ1,λ2,..,λn为A的特征值.
==>
A^(-1)=PB^(-1)P^t=
=PB^(-1)P^tPBP^tPB^(-1)P^t=
=[PB^(-1)P^t]A[PB^(-1)P^t]^t,
其中B^(-1)=diag(1/λ1,1/λ2,..,1/λn).
==>A和A^(-1)合同.
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