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不等式证明4设正实数a、b、c满足abc＝1.证明：√(1+8a
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：7次
问题描述：设正实数a、b、c满足abc＝1.
证明：√(1+8a^2)+√(1+8b^2)+√(1+8c^2)≤3(a+b+c)。
令a＝e^x,b＝e^y,c＝e^z
abc＝1 <==> x+y+z＝0
令f(t)＝3e^t-√[8e^(2t)+1]，f"(t)>0，f为凸函数
f(x)+f(y)+f(z)≥3f[(x+y+z)/3]＝3f(0)＝0
即3e^x-√[8e^(2x)+1]+3e^y-√[8e^(2y)+1]+3e^z-√[8e^(2z)+1]≥0
即3a-√(1+8a^2)+3b-√(1+8b^2)+3c-√(1+8c^2)≥0，得证
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