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已知两点M(
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：已知两点M(-1,0),N(1,0),且动点P使向量MN^2=2向量PM•向量PN,求向量PM与PN的夹角的取值范围
设P（x,y），向量PM=（-1-x，-y），向量PN=（1-x，-y），向量MN=（2，0），向量MN²=4,向量PM•向量PN=（-1-x，-y)(1-x，-y）=-1+x²+y²，∴ 4=-1+x²+y²，即x²+y²=5.设P（√5cθ，√5sinθ），|PM|²=(√5cosθ+1)²+（√5sinθ)²=2√5cosθ+6，|PN|²=(√5cosθ-1)²+（√5sinθ)²=-2√5cosθ+6,|PM||PN|=√[(6+2√5cosθ)(6-2√5cosθ)]=2√(9-5cos²θ), cos=4/|PM||PN|=2/√(9-5cos²θ).
∵ 0≤cos²θ≤1, 4≤9-5cos²θ≤9, ∴ 2/3≤cos≤1,
∴ 向量PM与PN的夹角的取值范围是[0,arccos(2/3)].
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