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简单证明已知x、y、z∈R+，且x+y+z=1，则[(1/x)
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：8次
问题描述：已知x、y、z∈R+，且x+y+z=1，
则[(1/x)-x][(1/y)-y][(1/z)-z]≥512/27。
证明：构造下凸函数:f(t)=ln[(1/t)-t]（t>=0)
则依Jensen不等式得
ln[(1/x)-x]+ln[(1/y)-y]+ln[(1/z)-z]>=3ln[3/(x+y+z)-(x+y+z)/3]
即[(1/x)-x][(1/y)-y]][(1/z)-z]>=(8/3)^3=512/27,故命题得证。
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