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圆与方程在直角三角形ABC中，斜边BC为M，以BC中点O为圆心，
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：在直角三角形AB中，斜边BC为M，以BC中点O为圆心，作半径为N（N小于|AP|²M/2）的圆，分别角BC于P.Q两点，求证|AP|²+|AQ|²+|PQ|²为定值
【题目要做较大改动】在直角三角形ABC中，斜边BC为m，以BC中点O为圆心，作半径为n（n＜m/2）的圆，分别角BC于P、Q两点，求证|AP|^2+|AQ|^2-2|PQ|^2为定值。
【证明】设AD是BC上的高，设DO=x，则AD^2=AO^2-OD^2=(m/2)^2-x^2，
则|PD|和|DQ|有一个为|n-x|，另一个为n+x，
若|PD|=|n-x|，|DQ|=n+x，则
AP^2=AD^2+PD^2=[(m/2)^2-x^2]+(n-x)^2；
AQ^2=AD^2+DQ^2=[(m/2)^2-x^2]+(n+x)^2；
而PQ^2=(2n)^2
于是 AP^2+AQ^2-2PQ^2=(m^2)/2 与 n、x 无关。
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