[解]：（1）由 y=ax+1及3x^2-y^2=1可得：（3-a^2）x-2ax-2=0 由题意知：3-a^2≠0且△＞0得- √6＜a＜√6 且a≠± √3 故当- √6＜a＜√6 且a≠± √3时，直线与双曲线有两个交点， 设A(x1,y1),（x2,y2），则x1+x2=2a/3-a^2 ，x1x2= -2/3-a^2 因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0， 而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)故（a^2+1)x1x2+a (x1+x2)+1=0,所以（a^2+1）又-2/3-a^2 +a又2a/3-a^2+1=0 从而a=±1满足 （2） 假设存在实数a，使A、B关于直线y= 1/2x对称 则直线y=ax+1与直线y=1/2x垂直， 所以a=-2,故直线l的方程为y=-2x+1， 将a=-2代入x1+x2=2a/3-a^2得x1+x2=4 所以AB中点横坐标为2，纵坐标为y=-2×2+1=-3，而AB中点（2，-3）不在直线y=1/2x上 故不存在实数a满足题意。