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勾股定理在△ABC中，AB＝AC,角BAC＝90°，D是斜边BC
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：在△AB中，AB＝AC,角BAC＝90°，D是斜边BC的中点，点，点E,F分别在AB,AC上，且DE垂直DF,若BE＝5，CF＝12，求△DEF的面积。
如图
连接AD，过D作AC的垂线，垂足为G
因为△ABC为等腰直角三角形，且D为斜边中点
所以，AD垂直平分BC
又已知DE⊥DF，所以∠ADF+ADE=90
同理，∠ADE+BDE=90
所以，∠BDE=ADF
而，∠B=∠DAF=45
BD=DC=AD（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）
所以，△BDE≌△ADF（SAS）
所以，AF=BE=5,且DE=DF
所以，Rt△ABC的直角边AB=AC=AF+CF=BE+CF=5+12=17，且△DEF也是等腰直角三角形
而，DG是△ABC的中位线，所以：DG=AB/2=17/2
又，FG=CF-CG=12-(17/2)=7/2
所以，在Rt△DGF中，根据勾股定理有：
DF^=DG^+FG^=(17/2)^+(7/2)^=169/2
所以，△DEF的面积=(1/2)*DE*DF=(1/2)DE^=(1/2)(169/2)
=169/4
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