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08加拿大题目已知a、b、c是正数，且a+b+c＝1，证明：(a
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：已知a、b、c是正数，且a+b+c＝1，证明：
(a-bc)/(a+bc)+(b-ca)/(b+ca)+(c-ab)/(c+ab)≤3/2。
a+b+c＝1，
∴a+bc＝a(a+b+c)+bc＝((a+b)(a+c).
∴(a-bc)/(a+bc)+(b-ca)/(b+ca)+(c-ab)/(c+ab)≤3/2
→4bc/(a+b)(a+c)+4ca/(a+b)(b+c)+4ab/(a+c)(b+c)≥3
→a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2≥6abc.
而a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2
≥6[(a^2b)·(ab^2)·(b^2c)·(bc^2)·(c^2a)·(ca^2)]^(1/6)
＝6abc,
故原不等式成立。
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