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求最小值在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,试
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：8次
问题描述：在三角形AB中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,试求
(aA+bB+cC)/(a+b+c)的最小值
(aA+bB+cC)/(a+b+c)-(A+B+C)/3
=[(A-B)(a-b)+(B-C)(b-c)+(C-A)(c-a)]/[3(a+b+c)]
∵三角形内大角对大边
∴(A-B)(a-b)、(B-C)(b-c)、(C-A)(c-a)均≥0
∴(aA+bB+cC)/(a+b+c)≥(A+B+C)/3=π/3
且当取等号时a=b=c,A=B=C.
对于网友提出的上确界，可以这样：
∵(a+b+c)>max{2a,2b,2c}
∴(aA+bB+cC)/(a+b+c)
<(aA)/(2a)+(bB)/(2b)+(cC)/(2c)
=(A+B+C)/2=π/2
当三角形中某一个角趋向于π时，原式趋向于π/2
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