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高一数学已知函数f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：已知f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2
(1)证明：f(x)为奇函数
(2)证明：f(x)是R上的减函数
(3)若f(2x+5)+f(6-7x)＞4，求x的取值范围
已知f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2
(1)证明：f(x)为奇函数
因为f(x)对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),，所以：
令x=y=0，则：
f(0+0)=f(0)+f(0)
所以，f(0)=0
再令x=-y，那么：
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以，f(-x)=-f(x)
所以，f(x)为奇函数。
(2)证明：f(x)是R上的减函数
设在R上有x1>x2，那么：x1-x2>0
所以，f(x1-x2)<0
而，f(x1-x2)=f[x1+(-x2)]=f(x1)+f(-x2)
由(1)知，f(x)为奇函数，所以：
=f(x1)-f(x2)<0
即：f(x1) f(2x+5)-f(7x-6)>-f(2)
===> f(2x+5)+f(2)>f(7x-6)
===> f[(2x+5)+2]>f(7x-6)
===> f(2x+7)>f(7x-6)
===> 2x+7<7x-6
===> 5x>13
===> x>13/5
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