个人感觉这个问题反过来答比较顺手。 首先为表达方便引入记号[a;b,c,d,...]表示连分数a+1/(b+1/(c+1/(d+1/...)))。 下面说明x=[0;1,1,1,1,1,...]是原方程的一个解。 实际上x+1=[1;1,1,1,...]，于是1/(1+x)=[0;1,1,1,1,...]=x,故x满足1=x(1+x)，即x^2+x-1=0，是一个解。 再由根与系数关系，另一解是-1/[0;1,1,1,...]=-[1;1,1,1,...]。 严格来说在使用连分数进行计算前需先说明连分数是有意义的（收敛），就结论来说这种各项为正整数的情况是没有问题的，这里就不详细说了。这种收敛性的应用之一是用截断的连分数逼近无理数（这种逼近还有最佳性）。 如果要从方程求出上面的解，不妨采取如下步骤（不是普遍适用的）：首先确定方程在(0,1)内有一单根x, 有x=[0;?,...]。而由方程知1/x=1+x, 所以x=[0;1,?,...]。巧合的是1/x的小数部分1/x-1刚好就等于x，于是出现循环x=[0;1,1,1,...]，得到一个解。