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高二数学1)直线y=kx+1与曲线3x^2
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：1)直线y=kx+1与曲线3x^2-y^2=1相交,交点为A,B.当k为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点.
2)已知圆A的方程为(x+5)^2+y^2=49,圆B的方程为(x-5)^2+y^2=1,圆心为P的动圆与圆A,圆B都相切,则P点的轨迹是何曲线?
请说明思路与过程
1. 把y=kx+1代入3x^2-y^2=1得(3-k^)x^-2kx-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k/(3-k^),x1x2=-2/(3-k^),以AB为直径的圆过坐标原点则∠AOB=90°.OA⊥OB,∴ x1x2+y1y2=0,∵y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k^x1x2+k(x1+x2)+1,∴ (1+k^)x1x2+k(x1+x2)+1=(1-k^)/(3-k^)=0,∴ k=±1
2. 设⊙P半径为R,它与⊙A,⊙B外切时,|PA|=7+R,|PB|=1+R,∴|PA|-|PB|=6,由双曲线定义,P点的轨迹是以A,B为焦点,2a=6的双曲线右支,其方程是x^/9-y^/16=1(x>0)
它与⊙A,⊙B内切时,|PA|=R-7,|PB|=R-1,,∴|PB|-|PA|=6,由双曲线定义,P点的轨迹是以A,B为焦点,2a=6的双曲线左支,其方程是x^/9-y^/16=1(x<0)
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