解法一:由题意知,可设t=(a-2)^2+(b-3)^2以a+b+1=0 --->b=-a-1,代入所设得2a^2+4a+20-t=0判别式不小于0,故16-8(20-t)>=0 --->t>=18此时a=-1,b=0,即当且仅当a=-1,b=0时取等号.故a=-1,b=0时,(a-2)^2+(b-3)^2的最小值为18.解法二:由题意知可设(a-2)^2+(b-3)^2=r^2到直线a+b+1=0与圆(a-2)^2+(b-3)^2=r^2(r>0),于是,d=r^2>=18.取等号时,有{a+b+1=0{(a-2)^2+(b-3)^2=18解得a=-1,b=0故当且仅当a=-1,b=0时,所求最小值为18.解法三:构造向量m=(1,1),n=(a-2,b-3),则|m*n|^2=<|m|^2*|n|^2--->(a+b-5)=<2[(a-2)^2+(b-3)^2]--->(-1-5)^2=<2[(a-2)^2+(b-3)^2]取等号,得所设最小值为18,此时a=-1,b=0.---------------本题解法非常多,不一一列出了!