首先Dk表示k个元素的错位排列。 1.n个元素的全排列有两种方案： a).n！种方法； b).分为n+1类： 恰有0个元素在原来的位置，有(n,0)D0； 恰有1个元素在原来的位置，有C(n,1)D1； 恰有2个元素在原来的位置，有C(n,2)D2； 恰有3个元素在原来的位置，有C(n,3)D3； ........ 恰有n个元素在原来的位置，有C(n,n)Dn， 所以第一个结论成立。 2.∑(k=0,n)kC(n,k)D(n-k) =∑(k=1,n)k*n!/[k!*(n-k)!]*D(n-k) =∑(k=1,n)n(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]*D(n-k) =n∑(k=1,n)(n-1)!/[(k-1)!(n-1-k+1)]*D(n-k) =n∑(k=1,n)C(n-1,k-1)D(n-k) =n∑(k=1,n)C(n-1,n-k)D(n-k) =n∑(i=0,n-1)C(n-1,i)D(n-i) （因为n-k=i,k=1,2,3....n,则i=n-1,n-2,...3,2,1,0） =n*（n-1)!=n！ 即第二个等式成立。