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若a>b>0,求证：√2a^3·[3/(ab
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：若a>b>0,求证：√2a^3·[3/(ab-b^2)]≥10。
a>b>0→a-b>0.
ab-b^2＝b(a-b)≤[(b+a-b)/2]^2＝a^2/4,
∴3/(ab-b^2)≥12/a^2,
∵√2a^3+12/a^2
＝√2a^3/2+√2a^3/2+4/a^2+4/a^2+4/a^2
≥5[(√2a^3/2)·(√2a^3/2)·(4/a^2)·(4/a^2)·(4/a^2)]^(1/5)
＝10,
∴√2a^3·[3/(ab-b^2)]≥10.
取等充要条件是：
{b＝a-b,
{a^3/√2＝4/a^2,
解得，a＝√2,b＝√2/2.
故原命题得证。
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