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椭球面x^2+2y^2+z^2=22上平行于平面x
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：椭球面x^2+2y^2+z^2=22上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程。
给出详细的解题过程
解：设（x0,y0,z0)是椭球面上的切点，
令：F(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-22
∴f'x=2x|（x0,y0,z0)=2x0
f'y=4y|（x0,y0,z0)=4y0
f'z=2z|（x0,y0,z0)=2z0
所以切平面方程是：
2x0(x-x0)+4y0(y-y0)+2z0(z-z0)=0
因为切平面方程平行于平面x-y+2z=0：
即：2x0/1=4y0/(-1)=2z0/2
==>2x0=-4y0=z0
又（x0,y0,z0)在椭球面上：
x0^2+2*x0^2/4+4x0^2=22
==>x0^2=4
==>x0=±2
即:所求的切点是:(2,-1,4),(-2,1,-4)
切平面方程为:
(1)4(x-2)-4(y+1)+8(z-4)=0
==>x-y+2z=11
(2)-4(x+2)+4(y-1)-8(z+4)=0
==>x-y+2z=-11
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