a^3+b^3+c^3-3abc =(a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3)+c^3-3a^2*b-3ab^2-3abc =(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) =(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] 因为[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0,当仅当a=b=c时等号成立 又因为：a+b+c>0. 所以(1/2)*(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0 于是对一切正实数a、b、c都有a^3+b^3+c^3≥3abc成立。 当仅当a=b=c时等号成立。 至于第二个不等式，只需把第一个不等式中的a换成(三次根号)√a，把b换成(三次根号)√b，把c换成(三次根号)√c，就可以得到第二个不等式了。 第一个不等式还可以这样证： (a3+b3)-[(a^2)b-a(b^2)] =[a^3-(a^2)b]-[(a^2)b-b^3] =[(a^2)-(b^2)]*(a-b) =(a+b)*(a-b)^2≥0 即　a3+b3≥(a^2)b＋a(b^2)（等号成立的条件是a＝b） 同理b3+c3≥(b^2)c＋b(c^2)（等号成立的条件是b＝c） 　　c3+a3≥(c^2)a＋c(a^2)（等号成立的条件是c＝a） 把以上三式相加可得： 2(a3+b3+c3)≥(a^2)b＋a(b^2)+(b^2)c＋b(c^2)+(c^2)a＋c(a^2) 　　　　　 ＝[(a^2)+(b^2)]c+[(b^2)+(c^2)]a+[(c^2)+(a^2)]b 　　　　　　≥2abc+2abc+2abc 　　　　　　＝6abc 所以　a3+b3+c3≥3abc，当仅当a=b=c时等号成立。