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不等式若a>0,b>0,比较a^a*b^b与(ab)
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：若a>0,b>0,比较a^a*b^b与(ab)^[(a+b)/2]的大小
用作商比较法
a^a*b^b/(ab)^[(a+b)/2]
=a^[a-(a+b)/2]*b^[b-(a+b)/2]
=a^[(a-b)/2]*b^[(b-a)/2]
=a^[(a-b)/2]*1/b^[(a-b)/2]
=(a/b)^[(a-b)/2]
1)如果a>b,则a/b>1,(a-b)/2>0,所以(a/b)^[(a-b)/2]>1
故a^a*b^b>(ab)^[(a+b)/2]
2)如果a=b,则a/b=1,(a-b)/2=0,所以(a/b)^[(a-b)/2]=1
故a^a*b^b=(ab)^[(a+b)/2]
4)如果a1
故a^a*b^b>(ab)^[(a+b)/2]
因此无论a，b是何正数都有a^a*b^b>=(ab)^[(a+b)/2].
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