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若函数y=1/3x^3
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：14次
问题描述：若y=1/3x^3-1/2ax^2+(a-1)x+1z在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）增函数 试求a的取值范围
（1）首先对函数进行求导
y'=dy/dx= x^2 - a x + (a-1)
易知导函数为一个开口向上的二次函数，若要使之与x轴有交点（即题目中“在区间（1，4）内为减函数”之意），则：
1）b^2-4ac=a^2-4a+4>0
2)导函数与x轴的交点在（1，4）之外，即
[a-sqrt(a^2-4a+4)]/2<=1
[a+sqrt(a^2-4a+4)]/2>=4
(2)联立以上三个不等式，分别解得
1）a#（不等于符号）2
2）a可以取任意实数
3) a>=5
综上 a>=5
(3)导函数与x轴右侧的交点要小于6
[a+sqrt(a^2-4a+4)]/2<=6
解得
a<12且a<=7
即a<=7
综上所述，a的取值范围是[5,7]
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