证明 设正七边形的边长较短对角线和较长对角线分别为a，m，n。据托勒密定理， 在圆内接四边形PABG中， PA*m+PG*a=PB*a (1) 在圆内接四边形PAFE中， PA*a+PG*m=PF*a (2) (1)+(2)得: PA*m+PG*a+ PA*a+PG*m= PB*a+ PF*a (3) 在圆内接四边形PABD中， PA*m+PD*a=PB*n 即 PA*m=PB*n-PD*a (4) (4)代入(3)式得: PB*n+PG*a+PA*a+PG*m=a*(PB+PD+PF) (5) 在圆内接四边形PBDG中， PB*n+PG*m=PD*m (6) (6)代入(5)式得: PA*aPG*a+PG*m= a*(PB+PD+PF) (7) 在圆内接四边形PE中， PC*a+PE*a=PD*m (8) (8)代入(7)式得: a*(PA+PC+PE+PG)=a*(PB+PD+PF) 因为a≠0, 所以PA+PC+PE+PG=PB+PD+PF，证毕。 备注: 设P为正(2n+1)边形[n>=2,n为自然数]A1A2…A(2n+1) 的外接圆A1A(2n+1) 圆弧上任一点。则有 PA1+PA3+PA5+…+PA(2n-1)+PA(2n+1)=PA2+PA4+PA6+…+PA(2n-2)+PA(2n)