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高考数学题已知函数f(x)=
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：已知f(x)=-x^2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t)
(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
解:
(1)f(x)=-x^2+8x=-(x-4)^2+16.
当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
h(t)=f(t+1)=-(t+1)^2+8(t+1)^2=-t^2+6t+7;
当t=<4=4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t^2+8t
综上知,h(t)为一个分段:
h(t)=-t^2+6t+7(t<3)
h(t)=16(3=4)
(2)y=f(x)图象与y=g(x)图象有且只有三个不同的交点,
即P(x)=g(x)-f(x)的图象与X轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
因P(x)=x^2-8x+6lnx+m,
即P'(x)=2x-8+6/x=2(x-1)(x-3)/x(x>0),故
当x属性(0,1)时,P'(x)>0,P(x)是增函数;
当x属于(1,3)时,P'(x)<0,P(x)是减函数;
当x属于(3,+无穷)时,P'(x)>0,P(x)是增函数;
当x=1,或x=3时,p'(x)=0.
故P(x,y)|max=P(1)=m-7,
P(x)|min=P(3)=m+6ln3-15.
当x充分接近0时,P(x)<0;
当x充分大时,P(x)>0;
所以,要使P(x)的图象与X轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需:
{P(x)|max=m-7>0,P(x)|min=m+6ln3-15<0}
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