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高中数学过点P(6,8)作两互相垂直的直线PA、PB,分别交X轴
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：过点P(6,8)作两互相垂直的直线PA、PB,分别交X轴正半轴于A,交Y轴正整轴于B.
(1)求线段AB中点的轨迹方程.
(2)若三角形AOB与三角形APB面积相等,求PA与PB所在的直线方程.
解:
(1)设线段AB中点M(x,y),
则依中数公式易得A(2x,0),B(0,2y)
因PA垂直于PB,即它们斜率乘积为-1,
故[8/(6-2x)]*[(8-2y)/6]=-1
--->3x+4y-25=0
即中点M的轨迹是直线3x+4y-25=0在第一象限内的部分.
(2)设A(a,0),B(0,b)(其中a>0,b>0),
则直线AB为x/a+y/b=1
即bx+ay-ab=0
因三角形AOB、APB等面试,
故点O、P到直线AB等距,
即 ab/根(a^2+b^2)=|8a+6b-ab|/根(a^2+b^2)
--->ab=4a+3b ......(1)
又PA垂直于PB,
故 [8/(6-a)]*[(8-b)/6]=-1
--->3a+4b=50 ......(2)
由(1)、(2)得
a=6,b=8;或a=25/3,b=25/4.
故PA、PB方程分别是:
x=6
y=8
24x+7y-200=0
7x-24y+150=0
共有4条直线.
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