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数学题证明：对于非负实数x、y,有(x^2+y^2)^2+x^3
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：证明：对于非负实数x、y,有(x^2+y^2)^2+x^3+y^3+4xy^2+x^2+y^2≥3x^3y+5xy^2+xy.
(x^2+y^2)^2+x^3+y^3+4xy^2+x^2+y^2-（3x^3y+5xy^2+xy）
=x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4+x^3-xy^2+y^3+x^2-xy+y^2,
x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3y^2/4>=0,①
f(x)=x^4-3x^3+2x^2+1(x>=0),
f'(x)=3x^3-9x^2+4x=0,
x1=0,x2,3=(9土√33）/6，
f(0)=1,f(x2)≈5，f(x3)≈1，
∴f(x)>0,
∴y^4*f(x/y)=x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4>=0.②
研究g(x)=x^3-x+1(x>=0),
g'(x)=3x^2-1=0,
x4=1/√3，
g(x4)=(9-2√3）/9>0,
g(0)=1,
∴g(x)>0,
∴y^3*g(x/y)=x^3-xy^2+y^3>=0.③
①+②+③，x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4+x^3-xy^2+y^3+x^2-xy+y^2>=0,
∴原式成立。
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