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高一数学帮助已知0<a<90°,0<b<
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：已知0<a<90°,0<b<90°,a+b=120°,求S=c^2a+sin^2b的值域.
S=cosA^2+sinB^2=cos(120-B)^2+sinB^2
=(cos120cosB+sin120sinB)^2+sinB^2
=[(cosB^2)/4]+[3(sinB^2)/4]-√3sinBcosB/2+sinB^2
=(7/4)-(3cosB^2)/2-√3sin2B/4
=(7/4)-(3/2)*[(1+cos2B)/2]-√3sin2B/4
=1-3cos2B/4-√3sin2B/4
=1-√3/2[-√3cos2B/2*-sin2B/2]
=1-√3/2sin(60-2B)
易知B在(30，90)内，∴60-2B在(-120，0)
∴sin(60-2B)在(-1，0)
所以S最大值：1+√3/2(即B=75)
当B=30时，S=1
由于取不到30度，则没有最小值
所以S值域为(1，1+√3/2]
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