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二重积分的证明题：证明：函数f（x，y）：[f（x，y）=1，当
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：9次
问题描述：证明：f（x，y）：[f（x，y）=1，当x与y都是有理数；f（x，y）=0，当x与y至少有一个是无理数]在任意有界闭区域都不可积。
设任意有界闭区域D的面积S(D)>0,其中D为[A,B]×[C,D]子集.
反证法:设f在D上可积。
则有D的分割σ(i)=D∩{[a(i),b(i)]×[c(i),d(i)]},
1≤i≤n,使
∑{1≤i≤n}(M(i)-m(i))S(σ(i))≤S(D)/2,
其中M(i)=Max{f（x，y)（x，y）∈σ(i)}
m(i)=Min{f（x，y)（x，y）∈σ(i)}
由于Q×Q={（x，y），当x与y都是有理数}
在R×R稠密,所以有Q×Q∩σ(i)不空.
==>1≤M(i)
而R×R-Q×Q在R×R也稠密,所以有[R×R-Q×Q]∩σ(i)也不空.
==>m(i)≤0
==>
M(i)-m(i)≥1
==>
∑{1≤i≤n}(M(i)-m(i))S(σ(i))≥
≥∑{1≤i≤n}S(σ(i)=S(D)
==>
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