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数学～～～急！！！如图，正方形OBAC钟，O是坐标原点，在x轴正
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：如图，正方形OBA钟，O是坐标原点，在x轴正半轴上，经过点A的直线l与x轴和y轴，BC分别交于点D F E。且OD=2OB，AF=√10，过O、E、F三点做圆，分别交BC、OB于点G、K。
（1）求直线l的解析式
（2）求tan∠COG的值
（3）判断直线CK与经过O、C、D三点的圆的位置关系，并证明你的结论。
解:(1)设直线l得解析式为y=kx+b,正方形得边长为a，则A，D得坐标分别为（a,a),(-2a,0)
OD=2OB=2BA.所以=3BA,所以k=1/3.把D点坐标代入直线方程得:
0=(1/3)*(-2a)+b解得b=2a/3,所以直线解析式为y=x/3+2a/3
由此可得出F坐标（0，2a/3）
即CF＝a/3,AC=a,已知AF=√10
得，a=3
直线l解析式是：y=x/3+2
(2)解直线AD方程y=x/3+2和直线CB方程x+y=3,得E(3/4,9/4)
因为F(0,2),所以EF的垂直平分线方程可以求出为:y=-3x+13/4.
OF的垂直平分线为y=1.
联立方程y=-3x+13/4和方程y=1解得圆心M的坐标为(3/4,1).
设G(m,3-m).可知EG的垂直平分线的斜率为1(因为EG的斜率为-1),
EG中点((3+4m)/8,(21-4m)/8),圆心坐标为(3/4,1).联立EG中点与圆心可得EG的垂直平分线的斜率,令斜率=1,从而可解得m=2.从而G(2,1)
由此可得OG=√5,CG=2√2,OC=3.根据余弦定理得:
cos∠COG=1/√5,从而sin∠COG=2/√5.从而可得tan∠COG=2.
(3)直线CK是经过O、C、D三点的圆的切线.证明如下:
因为是经过O、C、D三点的圆,所以圆心坐标为OD的垂直平分线与OC的垂直平分线的交点,即新圆的圆心N坐标为(-3,3/2),可得向量NC=(3,3/2)
由第(2)问求得了第一个圆的圆心M坐标为(3/4,1),可以看到圆心M的横坐标与E点的横坐标相等(都是3/4),由此可知EM垂直平分OK.所以得到K的坐标为(3/2,0).从而可得向量KC=(-3/2,3).
所以向量NC*向量KC=(3,3/2)*(-3/2,3)=0.所以向量KC垂直于向量NC.
所以直线CK是经过O、C、D三点的圆的切线.
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