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请教一道函数题，有点难度的。明天要去学农了，今天回答采纳后加10?
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：2次
问题描述：已知b、c是实数，f(x)=x^2+bx+2c对任意α、β∈R,恒有f(1-sinα)≥0,且f(3+cosβ)≤0.
求证：
1、b+c=-2
2、求c的取舍范围
3、设f(1-sinα)的最大值为10,求函数f(x)的解析式。
请帮我一下，谢谢!
1)因为1-sinα∈[0,2],3+cosβ∈[2,4],可知当x∈[0,2]时,f(x)≥0;当x∈[2,4]时,f(x)≤0。由于抛物线开口向上，且x越小f(x)越大，所以在[0，4]这个区间的图象是单调递减的，且显然有f(2)=0，所以4+2b+2c=0,得b+c=-2;
2)因为x∈[2,4]时,f(x)≤0，所以f(4)≤0，而f(2)=0，可知对称轴x=-b/2≥3，得b≤-6,即-c-2=b≤-6,得c≥4;
3)因为在[0，4]这个区间的图象是单调递减的，所以f(0)即是最大值，得2c=10,c=5,b=-7,f(x)=x^2-7x+10
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