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高二数学立体几何在平行六面体ABCD
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：8次
问题描述：在平行六面体AB-A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB垂直于AD,角AA1B=角A1AD=60度.
1)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在角BAD的平分线上
2)求平行六面体的体积
是"角A1AB=角A1AD=60度"吧.
解：（1）.作A1O⊥平面ABCD，垂足为O，过O作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足为M、N，连接A1M，A1N，则
在三角形A1AM和三角形A1AN中，A1A=A1A，∠A1AB=∠A1AD=60度，∠A1MA=∠A1NA=90度，
所以三角形A1AM≌三角形A1AN
∴A1M=A1N，又A1O=A1O，∠A1OM=∠A1ON=90度
∴直角三角形A1OM≌直角三角形A1ON
∴OM=ON
所以点O到AB、AD两边的距离相等，
所以点A1在平面ABCD内的射影在角DAB的角平分线上.
（2）.在直角三角形A1AM中，AM=A1Acos60度=3/2，
在直角三角形AOM中，∠OAM=45度，AO=√2OM=（3/2）√2，
在直角三角形A1AO中，A1O^2=A1A^2-OA^2=9-9/2=9/2,∴A1O=（3/2）√2，
所以平行六面体的体积V=Sh=4×5×（3/2）√2=30√2.
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