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求通项公式{an}1.已知数列{an}中，a1=2，（n+1）a
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：1.已知数列{an}中，a1=2，（n+1）a【n+1】=a【n】+n
2.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足Sn=3a【n】+n^2
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2a【n】+n^2+3^(n-1)（n∈N*）
【】中为角标
1.
(n+1)a=an+n
===> (n+1)a=an+(n+1)-1
===> (n+1)[a-1]=an-1
令bn=an-1
则，b=a-1，b1=a1-1=2-1=1
===> (n+1)b=bn
===> b/bn=1/(n+1)
所以：
b1=1
b2/b1=1/2
b3/b2=1/3
……
bn/b=1/n
上述等式左右分别相乘得到：bn=1/n!
即，an-1=1/n!
所以，an=(1/n!)+1=(n!+1)/n!
2.
已知Sn=3an+n^2
所以，S=3a+(n-1)^2
所以，an=Sn-S=3an+n^2-3a-(n-1)^2
=3an-3a+2n-1
则，2an=3a-2n+1……………………………………（1）
令2[an+kn+b]=3[a+k(n-1)+b]
===> 2an+2kn+2b=3a+3kn-3k+3b
===> 2an=3a+kn-3k+b………………………………（2）
比较(1)(2)得到：
k=-2
-3k+b=1
所以，k=-2，b=-5
即，2[an-2n-5]=3[a-2(n-1)-5]
所以，令an-2n-5=cn
则，c1=a1-7，2cn=3c
而，a1=S1=3a1+1
所以，a1=-1/2
所以，c1=(-1/2)-7=-15/2
又，cn/c=3/2=q
所以，cn=c1*q^(n-1)=(-15/2)*(3/2)^(n-1)
=-5*(3/2)*(3/2)^(n-1)
=-5*(3/2)^n
即，an-2n-5=cn=-5*(3/2)^n
所以，an=2n+5-5*(3/2)^n.
3.
方法同2，过程略，请自己进行。
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