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已知二次函数f(x)=ax^2+bxc(a≠0)满足f(—1)=?

发表于:2024-10-24 00:00:00浏览:5次 分类: 教育/科学-理工学科-数学
问题描述:已知二次f(x)=ax^2+bxc(a≠0)满足f(—1)=0,对于任意实数x,都有f(x)-x≥0,并且当 x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+1/2)^2 , 1.求证:a>0,c>0 2.当x属于[—1,1]时,函数g(x)=f(x)—mx是单调的,求证:m≤0或m≥1
已知二次f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(—1)=0, 对于任意实数x,都有f(x)-x≥0, 并且当 x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+1/2)^2 , 1.求证:a>0,c>0 2.当x属于[—1,1]时,函数g(x)=f(x)—mx是单调的, 求证:m≤0或m≥1 证:1.f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c>=0恒成立, ∴a>0,f(0)=c>=0. 2.g(x)=ax^2+(b-m)x+c在[-1,1]上单调, ∴-(b-m)/(2a)<=-1,或-(b-m)/(2a)>=1, ∴m-b<=-2a,或m-b>=2a, f(-1)=a-b+c=0,c=b-a.① 由f(x)-x≥0得(b-1)^2-4ac<=0.② 把①代入②,4a^2-4ab+(b-1)^2<=0, ∵a为实数, ∴16b^2-16(b-1)^2=16(2b-1)>=0,b>=1/2. 当 x∈(0,2)时,有f(x)≤(x+1/2)^2 ∴x=0时c<=1/4, ∴b-a<=1/4, ∴a>=b-1/4>=1/4. ∴m<=b-2a<=1/4-a<=0,或m>=b+2a>=1/2+2*1/4=1.

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