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已知二次函数f(x)=ax^2+bxc(a≠0)满足f(—1)=?
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：已知二次f(x)=ax^2+bxc(a≠0)满足f(—1)=0,对于任意实数x,都有f（x)-x≥0，并且当 x∈（0，2）时，有f(x)≤（x+1/2）^2 ，
1.求证：a>0，c>0
2.当x属于[—1,1]时,函数g(x)=f(x)—mx是单调的，求证：m≤0或m≥1
已知二次f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)满足f(—1)=0,
对于任意实数x,都有f（x)-x≥0，
并且当 x∈（0，2）时，有f(x)≤（x+1/2）^2 ，
1.求证：a>0，c>0
2.当x属于[—1,1]时,函数g(x)=f(x)—mx是单调的，
求证：m≤0或m≥1
证：1.f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c>=0恒成立，
∴a>0,f(0)=c>=0.
2.g(x)=ax^2+(b-m)x+c在[-1,1]上单调，
∴-（b-m)/(2a)<=-1,或-（b-m)/(2a）>=1,
∴m-b<=-2a,或m-b>=2a,
f(-1)=a-b+c=0，c=b-a.①
由f（x)-x≥0得(b-1)^2-4ac<=0.②
把①代入②，4a^2-4ab+(b-1)^2<=0,
∵a为实数，
∴16b^2-16(b-1)^2=16(2b-1)>=0,b>=1/2.
当 x∈（0，2）时，有f(x)≤（x+1/2）^2
∴x=0时c<=1/4,
∴b-a<=1/4,
∴a>=b-1/4>=1/4.
∴m<=b-2a<=1/4-a<=0,或m>=b+2a>=1/2+2*1/4=1.
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