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高1数学````平面四边形ABCD中，向量AB=a，向量BC=b
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：平面四边形AB中，
向量AB=a，向量BC=b，向量CD=c，向量DA=d，且a*b=b*c=c*d=d*a,试问四边形ABCD什么形状`
解:∵向量AC=b-a=c-d
∴(b-a)^2=(c-d)^2
b^2+a^2-2a*b=c^2+d^2-2c*d
又a*b=c*d,所以b^2+a^2=c^2+d^2 (1)
同理由向量BD=d-a=c-b得d^2+a^2=c^2+b^2 (2)
(1)-(2)得b^2-d^2=d^2-b^2,所以b^2=d^2
把b^2=d^2代入(1)得a^2=c^2
所以|b|=|d| , |a|=|c|,即BC=DA,AB=CD,
所以四边形ABCD是平行四边形.
∴a=-c, a-c=-2c
∵a*b=b*c
∴a*b-b*c=b*(a-c)=0
所以b⊥(a-c)即b⊥(-2c),所以b⊥c,所以BC⊥CD
所以四边形ABCD是矩形.
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