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线性代数问题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A^nX=0
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：7次
问题描述：设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A^nX=0,(2)A^(n+1)X=0,必有
A.(2)的解是(1)的解，(1)的解也是(2)的解
B.(1)的解是(2)的解，但(2)的解不是(1)的解
.(2)的解是(1)的解，但(1)的解不是(2)的解
D.(1)的解不是(2)的解，(2)的解也不是(1)的解
主要问题是A^(n+1)X=0的解是不是A^nX=0的解？
选A.
设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A^nX=0,(2)A^(n+1)X=0,必有:(1)的解也是(2)的解,这是因为 A^(n+1)X= A(A^n * X)
反之，(2)的解是(1)的解，若不然，设A^(n+1)X1=0，但A^nX1≠0，则n+1个n元向量A^nX1，A^（n-1）X1，...，AX1,X1必线性无关.这是因为若knA^nX1+...+k1AX1+k0X1=0,依次用A^n,A^(n-1),...,A乘其两端可得k0=k1=...=kn=0.注意到任意n+1个向量n元向量必线性相关，从而出现矛盾，假设不成立。所以(2)的解是(1)的解。
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