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高二数学.不等式X+2根号2XY小于等于A(X+Y)对于一切实数
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：7次
问题描述：不等式X+ 2根号2XY 小于等于A(X+Y) 对于一切实数X, Y成立,则正数A的最小值________.
首先质疑该题目有缺陷，参考以下第（2）、（3）种情况
由题知：x+2*(2xy)^1/2=
（1）假设x+y=0,x=-y,xy=-x^2
又根据xy>=0,可知x=0,y=0，式子化为0=A*0,任何A值都成立；
（3）若x=0时，y不等于零时，式子化为0=A*Y，A必须等于零， 无正数解；
（2）假设x+y<0且x不等于0，那么有
A=<{x+2*(2xy)^1/2}/(x+y)，同除以x
=1+2*(2y/x)^1/2/(1+y/x)，
不存在正数A满足对于一切实数X, Y,以下均能成立
1+2*(2y/x)^1/2/(1+y/x)>=A>0，
故无解
（4）假设x+y>0且x不等于0，那么有
A>={x+2*(2xy)^1/2}/(x+y)，分子同除以x
=1+2*(2y/x)^1/2/(1+y/x)
设t=2y/x,t>0
1+2*(2y/x)^1/2/(1+y/x)=(1+2*t^(1/2))/(1+t/2)=f(t)
当0=1时，f(t)为减函数
因此当且仅当t=1时，f(t)为最大，为2
即A为最大，为2
综上所术，除实数x=0且y不等于0、x+y<0两种情况外，存在大于等于2的正数A满足不等式x+2*(2xy)^1/2=
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