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高中数学已知x、y>0,n∈N*.求证：x^n/(1+x^
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：3次
问题描述：已知x、y>0,n∈N*.求证：
x^n/(1+x^2)+y^n/(1+y^2)≤(x^n+y^n)/(1+xy).
依排序原理易得
x^n+y^n≥x^(n-1)·y+xy^(n-1).
∴x^n/(1+x^2)+y^n/(1+y^2)
＝[x^n(1+y^2)+y^n(1+x^2)]/[(1+x^2)(1+y^2)]
＝[(x^n+y^n)+xy(x^(n-1)·y+xy^(n-1))]/[(1+x^2)(1+y^2)]
≤[(x^n+y^n)+xy(x^n+y^n)]/(1+xy)^2
＝(x^n+y^n)/(1+xy).
故原不等式得证。
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