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求一高二取值范围题设点P到点M（
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：5次
问题描述：设点P到点M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴，y轴距离之比为2，求m的取值范围。
解：设P(x,y),由P到x轴和y轴的距离之比为2,有|y|=2|x| ===> y²=4x²
由|MN|=2及三角形两边之差小于第三边,有2|m|＜2 ===> |m|＜1
由点P到点M(-1,0),N(1,0)的距离之差为2m,有
√[(x+1)²+y²]-√[(x-1)²+y²]=2m,即
√[(x+1)²+4x²]-√[(x-1)²+4x²]=2m,即
√(5x²+2x+1)=√(5x²-2x+1)+2m,两边平方
5x²+2x+1=5x²-2x+1+4m²+4m√(5x²-2x+1),即
x-m²=m√(5x²-2x+1),两边平方并整理
(5m²-1)x²=m²(k²-1) ===> x²=(m²-1)/(5m²-1)
(5k²-1)一定不等于0,不然上面等式不能成立.
由x²≥0,有
m²＞1/5,m²≥1 ===> m²≥1 ===> |m|≥1（舍去）
m²＜1/5,m²≤1 ===> m²＜1/5 ===> -1/√5＜m＜1/√5
所以m∈(-√5/5,√5/5).
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