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高中数学练习题在抛物线y=x^2上取三个不同点A、B、C,记△A
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：2次
问题描述：在抛物线y=x^2上取三个不同点A、B、,记△ABC外接圆半径为R.
(1)证明：R>1/2；
(2)是否存在常数c>1/2,使得对y=x^2上任取的三个不同点A、B、c,都有R≥c.
解：
(1)设A(x1,x1^2)、B(x2,x2^2)、(x3,x3^2),
△ABC外接圆半径为R,圆心为M(a,b).
则：
x1、X2、X3是方程(x-a)+(x^2-b)^2=R^2,
即x^4+(1-2b)x^2-2ax+a^2+b^2-R^2=0的根.
从而该方程的四个根都为实数,
记另一根为x4,依韦达定理,知
x1+x2+x3+x4=0
→(x1+x2+x3+X4)^2=0
→x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+2(x1X2+x2x3+x3x4+x4x1)=0
→x1^2+x2^2+x3^2+x4^2-2(2b-1)=0
→b>1/2.
又,由均值不等式得
2(2b-1)=x1^2+x2^2+x3^2+X4^2≥4根(|x1X2x3x4|)=4根(|a^2+b^2-R^2|)
∴4b^2-4b+1≥4(a^2+b^2-R^2)
→R^2≥a^2+b-1/4>a^2+1/2-1/4≥1/4.
故 R>1/2.
(2)不存在.
假如存在常数c>1/2满足题意.
考虑圆心为(0,c)、半径R∈(根(c-1/4),c)的圆,
从而(x-0)^2+(x^2-c)^2=R^2是双二次方程x^4+(1-2c)x^2+c^2-R^2=0
∵△=(2c-1)^2-4(c^2-R^2)=4[R^2-(c-1/4)]>0
故存在抛物线上三点A、B、C使得△ABC外接圆半径R
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