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无穷级数的基础求幂级数Σ<n=2,∞>[（x^n）/
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：11次
问题描述：求幂级数Σ<n=2,∞> [（x^n）/(n-1)]的收敛区间与和
设 S=Σ[(x^n)/(n-1)],
收敛半径 R=lima/a=limn/(n-1)=1,
x=1时，级数发散；x=-1时，级数收敛，收敛域为 x∈[-1,1).
S'=Σ[n/(n-1)]x^(n-1)=Σx^(n-1)+Σ[1/(n-1)]x^(n-1)
=x/(1-x)+Σ[1/(n-1)]x^(n-1)
记 T=Σ[1/(n-1)]x^(n-1)，则 T'=Σx^(n-2)=1/(1-x)，
于是 T=T(0)+∫<0,x>[1/(1-t)]dt=-ln(1-x), x∈[-1,1).
S'=x/(1-x)-ln(1-x),
S=S(0)+∫<0,x>[t/(1-t)-ln(1-t)]dt=-xln(1-x), x∈[-1,1).
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