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求最小数k,是得（ta+tb)/(a+b)<k,其中a,b?
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：求最小数k,是得（ta+tb)/(a+b)<k,其中a,b是三角形AB的两边长，ta,tb分别是与这两边相对应的角平分线长。
当△ABC满足a=b，且底角A→0时，
c→2b，cos(A/2)→1.
又ta=bcsinA/(b+c)sin(A/2)=[2bc/(b+c)]cos(A/2)，
∴(ta+tb)/(a+b)=ta/a→4/3，∴k≥4/3.
另一方面，
ta<2bc/(b+c)=2b[1-b/(b+c)]<2b[1-b/(a+b+c)]=2b[(a+b)/(a+2b)].
同理，tb<2a[(a+b)/(2a+b)].
∴(4/3)-[(ta+tb)/(a+b)]
>2[(2/3)-b/(a+2b)-a/(2a+b)]
=2(a-b)^2/[3(a+2b)(2a+b)]
≥0，
∴(ta+tb)/(a+b)<4/3.
故k最小值为：k|min=4/3。
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