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数学题求解已知函数f(x)=e^x+ax^2
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：已知f(x)=e^x+ax^2-ex 。
试确定a的取值范围，使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P
f'(x)=e^x+2ax-e,
设P(p,e^p+ap^-ep),切线L：y-(e^p+ap^-ep)=(e^p+2ap-e)(x-p),
即y=(e^p+2ap-e)x+(1-p)e^p-ap^,
依题意曲线y=f(x)在L的同侧，
<==>g(x)=e^x+ax^-(e^p+2ap)x-(1-p)e^p+ap^≥0.
g'(x)=e^x+2ax-(e^p+2ap),g(p)=g’(p)=0,
∴g''(x)=e^x+2a≥0，a≥(-1/2)e^x,
∴a>=0.
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