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如何证明三角形的三条高线一定交于一点？初中数学课本中说三角形三条
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：6次
问题描述：初中课本中说三角形三条角平分线交于一点，并给出了证明，也说三角形三条高线交于一点但没有给出证明，我想知道怎么证明它？最好用初等数学的知识。
方法1：
三角形AB中,AC、AB上的高为BE和CF。
显然三角形ABE相似于三角形ACF，故有AB/AC=AE/AF,即AF*AB=AE*AC (1)
过A作三角形ABC的高AD，分别交BE，CF，AB于O1，O2，D。
由三角形AFO2相似于三角形ADB得:AF/AO2=AD/AB,即AF*AB=AO2*AD (2)
由三角形AEO1相似于三角形ADC得:AE/AO1=AD/AC,即AE*AC=AO1*AD (3)
根据等式(1)(2)(3)有
AO1*AD＝AO2*AD,
所以AO1=AO2,O1、O2重合，记重合点为O点，则O点均在高AD，BE，CF上，所以三角形ABC得三条高交于一点O。
方法2：
三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD
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