在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。先来定义自然数。根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：公理 1. 0 是一个自然数。公理 2. 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。在这里， S(n) 就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ⋯⋯，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示，等等。可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：公理 3. 0 不是任何一个数的后继。但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。公理 5. （数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。什么是加法？我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。如何证明一加一等于二？至此，我们可以证明 1 + 1 = 2 了： 1 + 1= S(0) + 1 （根据自然数的公理）= S(0 + 1) （根据加法定义 2）= S(1) （根据加法定义 1）= 2 （根据自然数的公理）事实上，根据加法的定义，我们不但可以证明每一个加法等式，还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义，还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。 ☆予人玫瑰之手， 经久犹有余香， 如果对你有帮助， 请点击好评☆