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◇诱人的平面几何题（一）◇已知D是等边三角形ABC的BC边上的一
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：已知D是等边三角形AB的BC边上的一点，把三角形ABC向下折叠，折痕为MN，使A点落在D点处，若BD：DC=m:n，则AM：AN等于多少
不用余弦定理的证明
MA=MD, NA=ND
∠BMD=120°-∠BDM=∠NDN, ∠B=∠C
△BMD∽△CDN, AM/AN=DM/DN=BM/DC=BD/CN
不妨设BD=m, CD=n, 设k=AM/AN
k=BM/DC=(m+n-MD)/n, MD=m+n-kn
k=BD/CN=m/(m+n-DN), DN=(km+kn-m)/k
MD/ND=k(m+n-kn)/(km+kn-m)=k
m+n-kn=km+kn-m
k=(2m+n)/(m+2n)
这种方法仍然以计算为主,初中学生能看懂,但我还未想到纯几何的方法.
不妨设BD=m, CD=n, DN=x, 则CN=AB-AN=m+n-x
角C=60度
由余弦定理, x^2=n^2+(m+n-x)^2-n(m+n-x)
x=(m^2+mn+n^2)/(2m+n)=DN
同理 DM=(m^2+mn+n^2)/(m+2n)
所以AM/AN=DM/DN=(2m+n)/(m+2n)
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