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09女子奥数题实数x、y、z∈[1，+∞).证明：(x^2
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：实数x、y、z∈[1，+∞).证明：
(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)(z^2-2z+2)≤(xyz)^2-2(xyz)+2
注意到x、y≥1,则
(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)-[(xy)^2-2xy+2]
＝-2(x-1)(y-1)(x+y-1)≤0.
→(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)≤(xy)^2-2xy+2.
同理，xy≥1,z≥1,则
[(xy)^2-2xy+2](z^2-2z+2)≤(xyz)^2-2xyz+2.
∴(x^2-2x+2)(y^2-2y+2)(z^2-2z+2)≤(xyz)^2-2(xyz)+2。
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