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一道数学题等边三角形ABC外一点D,BD=CD且角BDC=120
发表于：2024-10-24 00:00:00浏览：4次
问题描述：等边三角形AB 外一点D,BD=CD且角BDC=120度,有M在AB上,N在AC上,BM+CN=MN.
求证:角MDN=60度.
证明：延长AB到点E，使BE=NC，则ME=MN
由题意可得：∠ABD=∠ACD=90°，DB=DC
∴△EBD≌△NCD
∴∠BDE=∠CDN，DE=DN且∠EDN=∠BDC =120°
∴△EDM≌△NDM
∴∠EDM=∠NDM
∵∠EDN=120°
∴∠MDN =60°
参考证明方法:
证明：∵∠ABC＝∠ACB＝60°
∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠DBA＝∠ACD＝90°
∵DC＝DB
∴可将△DBM绕点D顺时针旋转120°得△DCE
即△DCE≌△DBM
∴∠MDB=∠EDC,CE=BM
∴MN=EN
∵DM=DE,DN=DN
∴△MDN≌△EDN
∴∠MDN=∠EDN
又有∠BDC=120°且∠MDB=∠EDC
∴∠MDE=120°
∴结论成立
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