证明：设 √2=P/Q (P,Q)=1（即：若√2为有理数，那么它必可以表示为最简分数P/Q 的形式，P、Q 互质），那么 P^2 = 2Q^2，P^2可被2整除，即 2│P^2； 显然 P 是偶数，即 2│P（如果 P 是奇数，P^2 必为奇数，与 2│P^2 矛盾)； 因为 2│P，所以 4│P^2（即 P^2 能被 4 整除)； 因 4│P^2，不妨设 P^2 = 4N, 则由 2=P^2/Q^2 可得 2 = 4N /Q^2； 故 Q^2=2N，即 2│Q^2，所以 2│Q，即 Q 必为偶数， 综上知，P、Q 均为偶数，这与(P,Q)=1矛盾！ 所以 “√2=P/Q， (P,Q)=1”是不可能成立的，故√2为无理数。